La Base: Continuità di Lipschitz
Per controllare come gli errori si propagano, abbiamo bisogno di una funzione $f(t, y)$ che non "salta" troppo bruscamente. Questo è formalizzato dal Condizione di Lipschitz.
Una funzione $f(t, y)$ soddisfa la condizione di Lipschitz nella variabile $y$ su un insieme $D \subset \mathbb{R}^2$ se esiste una costante $L > 0$ tale che:
$$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$
per ogni $(t, y_1), (t, y_2) \in D$. Questa costante $L$ rappresenta il "limite di velocità" per il cambiamento verticale della funzione.
Esempio 1: Analisi delle Costanti di Lipschitz
Consideriamo $f(t, y) = t|y|$ sull'insieme $D = \{(t, y) \mid 1 \le t \le 2, -3 \le y \le 4\}$. Per il teorema del valore medio (o per le proprietà dei valori assoluti):
$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| = |t|y_1| - t|y_2|| = |t| \cdot ||y_1| - |y_2|| \le |t| \cdot |y_1 - y_2|$.
Poiché il valore massimo di $t$ nel nostro dominio è 2, la costante di Lipschitz è $L=2$.
Integrità Geometrica del Dominio
Non possiamo risolvere un IVP in un dominio pieno di buchi. Abbiamo bisogno di Convessità.
Un insieme $D$ è convesso se, per ogni coppia di punti $(t_1, y_1)$ e $(t_2, y_2)$, il segmento definito da:
$$((1 - \lambda)t_1 + \lambda t_2, (1 - \lambda)y_1 + \lambda y_2)$$
per $\lambda \in [0, 1]$ è anch'esso contenuto in $D$. Ciò garantisce che nessuna parte del cammino della soluzione "esca" dalla zona valida di calcolo.
Teorema dell'Esistenza e dell'Unicità
Quando queste condizioni sono soddisfatte, invochiamo Teorema 5.4: Se $f$ è continua e soddisfa una condizione di Lipschitz su un insieme convesso $D$, allora l'IVP $y' = f(t, y), y(a) = \alpha$ ha una unica soluzione $y(t)$. Questo giustifica metodi semplici come quello di Eulero ($w_{i+1} = w_i + h f(t_i, w_i)$) o metodi più complessi come la logica predittore-correttore:
$WC = w_{i-1} + \frac{h}{24}[9f(t_i, WP) + 19f(t_{i-1}, w_{i-1}) - 5f(t_{i-2}, w_{i-2}) + f(t_{i-3}, w_{i-3})]$.